中学校数学　証明のコツ : 2020年12月

2020年12月28日07:19

カテゴリ: 【相似】; 入試問題Ⅲ：まとめ

続・続・入試で差が出る証明問題【相似】を一人で学習できる教材

【証明の手順(コツ)】

❶問題の中から「仮定」「結論」を見つける。

❷「仮定」から「結論」を導くために、「何に着目すべきか」考える。

❸「図形の基本的な性質」や仮定から、等しいとわかる図の角や辺に印をかき入れる。

「証明の手順(コツ)」を身に付けることは、本ブログのメインテーマです。これを身に付けることで、学校の授業はもちろん、あらゆる入試問題に対応できるようになります。

特に、「図形の証明問題」に自信のない人は、１月６日(月)の内容から始めてください。中学校の教科書を踏まえ、基礎から入試レベルまで、確実に数学的な学力を伸ばすことができます。

その際、各ページを印刷し、必ず、鉛筆等を使い学習を進めてください。問題等を読んで理解しただけで、終わりにしないでください。

数学という学習は、分かっても、できるようになりません。「分かる」と「できる」は違います。

例えば、野球、テニス、卓球等で、一流選手のビデオを観たり、本を読んだりして素晴らしい技術を理解したとしても、実際に練習しなければ、それを身に付けることはできません。

理解したことを何度も繰り返し練習することで、初めて身に付けることができます。
問題を解く際「初めに・・、次に、・・、それから・・、さらに・・・、したがって・・・・」という考え方を、繰り返し試行することで、課題を解決するための思考力が徐々に脳に蓄積されていきます。

すると、同様な課題に取り組むとき、解決するためのアイデアが湧き出てくるようになります。数学の問題ができるようになるということです。

【注意】画像(図形等)は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

2020年12月27日07:27

カテゴリ: 【相似】; 入試問題Ⅱ：基本図形

続・入試で差が出る証明問題【相似】を一人で学習できる教材

今回は、平行四辺形と三角形、三角形と三角形、重なるように折った図形における相似問題を取り上げます。

ポイントは、「問題の図形から、証明しようとする三角形の相似条件に関する事柄を見つける」ことです。

その際、これまで学習してきた、平行四辺形(対角線・錯角・同位角等)、二等辺三角形、正三角形、平行線の各性質、三角形の内角と外角の性質、線対称の図形(折った図形)の性質などを効率的に組み合わせて利用します。

このブログは、中学校数学の図形に関する証明問題のコツを、無料で、誰もが、基礎から入試レベルまで身に付けることができるというコンセプトで開設しています。

「コロナ」の影響で、学校や塾が休校となり、普段の授業や受験勉強で困っている・悩んでいる等の生徒さんでも、自分一人だけで学習できるように工夫しました。

実力に応じて以下の方法で学習すると効果的です。

○証明が苦手だけれど、得意にしたい人
：１月６日（月）の内容より始める。
○証明は苦手ではないけど、得意にしたい人
：必要な内容のみ選び学習する

【注意】画像(図形等)は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

2020年12月26日15:42

カテゴリ: 【相似】; 入試問題Ⅰ：円

入試で差が出る証明問題【相似】を一人で学習できる教材

今回は、「相似」の入試問題を取り上げます。「相似」は単独で出題されることは少なく、円を含む「総合的な証明問題」として出題される傾向にあります。一般的に、基本的な図形の性質、合同や相似の性質を相互に効率的に関連付けることで、解くことができる問題なので、苦手にしている人が多く、入試で得点差がでる領域です。　

そこで、先ず「円の性質」に関わって、円周角の定理、円周角の定理の逆、円周角と弧、円の接線の長さ等の各定理を学習します。続いて、「相似な三角形と円」の問題に取り組む中で、それらを、どこで、どのように利用すればよいか、を学びます。問題にある図の中から、「互いに相似にある三角形」に視点をあて、対応する角・辺に着目し、三角形の相似条件を柔軟に利用できる力を身に付けます。

「どこで、何を、どのように利用すればよいか！」が、誰にでも分かるように工夫をしました。
〈考え方〉
・「解くための手順」を示しました。
→　この手順を身に付けることで、あらゆる問題に対応できるようになります。
〈ポイント〉
・「この場面で、なぜ、そう考えたり、利用したりするのか」を示しました。

→　これまで学習してきた知識・技能・考え方の生かし方がわかります。

【注意】画像(図形等)は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

2020年12月26日15:14

カテゴリ: 【合同】; 入試問題Ⅳ：記号

入試で差が出る証明問題【合同】を一人で学習できる教材

引き続き、入試問題を取り上げます。
問題を解く際のポイントは、以下に示した「基本的な図形の性質」を利用し、問題にある図形や言葉（仮定）を、記号や等式で簡潔に表すなど具体化することです。そうすることで、「何をどうしたらよいか！」がみえてきます。

【基本的な図形の性質など】

○円周角と中心角の関係、○弧の長さと中心角及び円周角の関係、○平行四辺形の性質と錯角・同位角、○正三角形と二等辺三角形の関係、◎角の表し方「証明するために、角をどのように表すか！」そして、∠A＝∠C－∠Dかつ、∠B＝∠C－∠Dならば、∠A＝∠Bを効果的に利用するか。

入試では、限られた時間の中で、先ず、効率的に解答を導くための「手がかり」を見つけることが大事です。円の問題であれば、半径、中心角、円周角、弧、また、平行四辺形の問題であれば、対角、対辺、対角線、錯角、同位角。三角形の問題であれば、辺、角、内角の和、外角と内角の関係、正三角形と二等辺三角形の関係など。基本的な図形が含まれる複合問題では、前述の各手がかりを相互に関連付け、新たな手がかりを生み出すことで、難しい入試問題が解決できるようになります。

入試問題が解けないと悩んでいる人の多くは、証明とは「何をどうすることなのか」を理解しない状態で、こうした作業（関連付け）をせずに、いきなり、答えを導き出そうとするので、証明問題ができない状況になるのです。

このブログでは、「証明とは、仮定から結論を導くことである」という定義を、第１回配信〈１月６日(月)〉のブログより、繰り返し説明してきました。例題を通して、「仮定から結論を導く方法：【証明の仕方】」を、ポイントを押さえ、誰にでも分かるように、具体的に解説してきました。

ですから、例題を繰り返し解くことで、証明するための思考の流れ(いわゆる、コツ)を身に付けることができます。

その際は、例題と例題の練習プリントを印刷し、鉛筆を使いスラスラできるようになるまで取り組んでください。読んで理解するだけでは、できるようになりません！

□証明が苦手な人
→ １月６日(月)のブログから始めましょう。

・各ページを印刷し、ファイルをつくりましょう。　　　　　　　　　　　　　　

□証明が得意な人　
→ 必要なページだけを印刷し、ファイルをつくりましょう。

【注意】画像(図形等)は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。