中学校数学　証明のコツ

今回は、図形を折る問題を取り上げます。

みなさんは，これまでの生活の中で，折り紙や紙を折る体験をたくさんしてきたと思いますが，折る作業は，図画工作の話で，「数学と，どこで，どのように，関連があるのか？」と疑問に思う人も多いことでしょう。問題をよんだ瞬間に，折る作業と数学は別々のもの，だから解けない。と感じてしまうのが普通だと思います。でも，それではいつになっても苦手なままです。

では，どうすれば，問題を解くことができるようになるのでしょうか？

それには，「折る」という作業を，数学的によみとることが必要です。

ここでは「折り目の線」は「線対称の軸」であるとよみかえるのです。

そして，線対称な図形の性質を本気になって理解します。ことばだけの理解ではダメです。

・図形とともに理解するのです！

【線対称な図形の性質】とその利用

① 正方形ABCDを直線Lで，△ABC≡△ADCとなるように折った線を線対称の軸という。

今回は、直方体の入試問題を取り上げます。
 

【例題】

直方体の対角線の長さを求めます。

・立体の問題は，平面で考えることがポイントです。

直線と直線，平面と平面，直線と平面等のそれぞれの位置関係〔平行か？，垂直か？〕，そして，頂点と頂点，頂点と直線，頂点と平面の距離を捉えることが重要です。

その際，「2直線が交わるか，平行であるとき，平面ができる」という考えを利用します。

数学が苦手な人は，直線と線分の違い等も含め，教科書で，この単元をもう一度復習しましょう。
特に，複雑な図形の「ねじれの位置」の問題は，「直線」で考えると分かりやすいのです。

上記の関係は，直方体〔下図〕を利用したり，教室を立方体，その中に自分がいると考えたりすることで，具体的に理解できます。

【例】

〇辺AD⊥辺AF

・立体ABCD-EFGHは直方体，だから，辺AD⊥辺AB，辺AD⊥辺AE，辺AF,AB,AEは面ABFE上にある。

・根拠：同一平面上(辺AE,AB,AF）にある２直線に垂直な直線(辺AD）は，その平面と垂直である。

【例】

〇ねじれの位置：その直線と交わらない，平行でない直線。
・「これ」をそのまま使っても難しい問題はできません！　
そこで，次のように考えます。

◎2直線が平行または交わるとき，必ず平面ができます。だから，その直線を含む平面にある直線はすべて×，残ったものが〇，

問：辺ADとねじれの位置は？ 面ABCD，面AEHD上の辺は×，
・さらに，面AFGD上の辺も×　←　実際にない面を想定する。この考えを身に付ける！
図に×を記入すると，残った辺がすべて〇，よって，辺ADとねじれの位置は，辺BF,CG，EF,HG。

	【注意】画像(図形等)は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

今回から、「三平方の定理」を取り上げます。　　

先ず、直角三角形の３辺について成り立つ「等式の性質」を学習します。

そのポイントは，以下の通りです。

〇三辺のうち，どの辺が「斜辺か？」，ハッキリさせる。→　直角が対面している角。

〇三つの角のうち，どの角が「直角か？」，ハッキリさせる。

〇成り立つ等式が，2次方程式と関連があることを理解する。

〇図形の問題は，2次方程式を利用し，解くことができるようになったことを実感する。

次に，そのポイントを具体例を通して，学習します。

・直角三角形の未知の辺を求める。

・３辺が与えられた三角形が直角三角形であることを示す。

続いて，基本的な平面図形(正方形，二等辺三角形)，三角定規との関連性を学習します。

・正方形の対角線の長さ，正三角形の高さを求める。

・比の性質，拡大図・縮図を利用することで，直角三角形との関連を理解する。それを利用し，効率的に各辺の長さを求める。

・正三角形の面積を求める。

さらに，空間図形への利用を学習します。

・直方体の対角線の長さを求める。

・四角錐の高さを求める。

また，代表的な応用問題の一つである「図形の最短距離」について，学習します。

・円錐の側面を１周する糸のうち，最も短い糸の長さを求める。

・苦手な人が多い，円錐の展開図，おうぎ形の中心角・弧について復習します。

三平方の定理を学ぶことで、直角三角形を含む図形問題は、文字式の計算や方程式を利用し，解決できるようになります。数学的な知識・技能・思考力を一層伸ばすことができます。中学校数学3年間の総決算の内容です。

以降は，入試問題を取り上げます。

特に，「何を，どう考えれば，解くことができるか！」，これまで通り，解説していきます。

【注意】画像(図形等）は，ダブルクリックすると拡大し、さらにワンクリックで拡大します。