中学校数学　証明のコツ

【お知らせ】　令和6年7月 「中学校数学 文章題解法のコツ」を新たに開設しました。

このブログ【A4：約200ページ】を活用すると、中学校数学の「図形領域」すべてを確実に習得することができます。

特に、数学を苦手にする人が、「カテゴリ」にしたがって、丁寧に学習を進めることで、基礎・基本から始まり、入試レベルまで対応できる力を習得できます。解法の効率的な「コツ！」だけでなく、数学の本質を踏まえた学習ができます。

本ブログの最大の特色は、自分一人だけで学習できるということです。難しい内容でも、自分一人で考え・判断し、理解できるよう、丁寧に解説を加えました。

各単元は、「理解するページ」と、「練習するページ」で構成しています。学習を進めるにあたっては、単に読んで理解して終わりにするだけでなく、スラスラできるようになるまで十分練習することがポイントとなります。そうした学習を積み重ねることで、数学的に考える力が徐々に身に付いてきます。問題を効率的に解くためのアイデアが、湧き出てくるようになります。

始めは時間がかかりますが、本ブログの学習を繰り返すことで、問題を効率的に解くことができるようになります。

何に着目すれば問題が解けるか、解答では、何を記述し、何を省略するか、等が分かってきます。あらゆる入試問題を制限時間内で解く力が身に付きます。

このブログのねらいは、数学以外の課題であっても、一人で筋道を立てて考え、解決できる力を身に付けることです。具体的には、中学校数学「図形領域」の学習において、「何を、どのような順で、どのように学習を進めればよいか」を繰り返し練習する過程で、「学び方」を学ぶことです。

第一に、基礎的・基本的な事柄を、正しく理解する。

第二に、理解した事柄を有効に活用できるよう繰り返し練習し、正しく身に付ける。

第三に、身に付けた事柄を、課題を解決するために、自ら考え判断し活用する。

この基本的な流れを踏まえた学習を体験することが、あらゆる学びに役立つと考えました。

ところで、「なぜ、勉強するのか？」と聞かれたら、みなさんは、どうこたえますか。

・成績を上げるため　・褒められたい　
・家族を喜ばせたい　・・・

そのゴールが大学入試でしょうか。

ところが、「学ぶこと」にゴールはありません。自分がより充実した日々を過ごすには、生涯学び続けることが大事です。その「学び方」の基本中の基本を提案したのが、このブログです。

ここでの学びを、将来、例えば、資格試験、仕事のスキルアップ等に役立ててください。

【最も効果的な活用方法】　
※スマホのカテゴリは、このページではなく、本ブログの終わりにあります。

Ⅰ．カテゴリを「目次」として活用する。

・自分が学習したい内容を簡単に見つけることができます。

Ⅱ．図形の証明が苦手な人は、「カテゴリ」の順に学習する。

その際、各ページを印刷し、書き込みながら、スラスラできるようにします。読んで理解するだけの学習はやめましょう！

そうした学習を続けても、できるようにはなりません。「分かったつもり」になるだけです。

頑張っているのにテストの得点が伸びない人の多くは、「読むだけの学習」をしています。

結果、「分かったつもり」でいるだけなので、「できる」ようになりません。

近年は、タブレットを利用した学習が盛んですが、気を付けないと、「分かったつもり」の学習となります。

本当に分かったと実感できるよう、各ページをプリントアウトし，必ず鉛筆等を使ったかく作業を取り入れた学習を実践しましょう。

ただし、自分は数学が得意だと考えている人には全く関係ない話です。

【カテゴリ】
　※ブログにある、すべての画像（図形等）は，ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

【合同】

・証明とは、何か？＋「続きを読む」

・仮定、結論＋「続きを読む」

・基本図形の性質＋「続きを読む」

・三角形の性質＋「続きを読む」

・直角三角形の合同条件　

・定義・定理　

・錯角、同位角　

・簡潔に証明する力　

・四角形の性質　

・入試問題Ⅰ：三角形

・入試問題Ⅱ：仮定

・入試問題Ⅲ：円

・入試問題Ⅳ：記号

【相似】

・相似とは、何か？

・三角形の定理

・平行線、角の二等分線

・線分、面積比

・面積比、体積比

・入試問題Ⅰ：円

・入試問題Ⅱ：基本図形

・入試問題Ⅲ：まとめ

【三平方の定理】

・三平方の定理とは？

・入試問題：立体の攻略

・入試問題：折る問題

・立体の攻略ポイント

・立体の攻略：実践力

・相似比を利用しよう

【差をつけるコツ】

・平行四辺形の理解

・対頂角の理解

・作図の理解

【動点の問題】

・攻略のポイント

・攻略ポイントの習得

・グラフの攻略

・補充問題

・補充問題　立体

【お知らせ】　「中学校数学　文章題解法のコツ」を開設しました。

今回は、２点がそれぞれ直方体や立方体の辺上を動いてできる「立体の体積」の問題です。

「立体の体積＝底面積×高さ」を踏まえ、２点の動きに対応した立体を捉え、それらの底面積と高さを明らかにすることで立体の体積を考えることが中心課題となります。

動点の変域と、それに対応した底面積と高さの関係を押さえることがポイントです。

続いて、問題を解く活動を通して、理解を深めます。

【注意】画像(図形・グラフ等)は、ダブルクリックで拡大し，さらにワンクリックで拡大します。

今回は、点や図形が移動する問題を取り上げます。

始めに、重なる図形が、「三角形→台形→三角形」のように変わる場合です。

三角形の相似条件を効率的に利用し、底辺、上底及び下底、高さを求めることがポイントになります。

次に、長方形の大きさが変わる問題です。「長方形の面積＝たて×よこ」を踏まえ、部分的に重なる、一方がすべて他方に含まれる等、場合分けしながら、落ちや重なりがなく、「たて」と「よこ」の長さを求めることがポイントになります。

点や図形が移動するときの「変域」と、それに「対応した面積」の関係を捉えることが共通の課題です。重なる図形が「変化するときの時間」を押さえることが重要です。

 
【注】問題は必ずプリントアウトしましょう！

【注意】画像(図形・グラフ等)は、ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。

グラフが設定された動点の問題を攻略するには、何を、どうすればよいか！

グラフの意味をよみとるために、①②の順で考えます。

①　先ず、x軸とｙ軸がそれぞれ何を表しているか、明確にする。

・x軸は｢時間｣または｢辺の長さ｣、ｙ軸は｢重なる図形の面積｣等
②　次に、xの値を踏まえ、面積ｙを求める。その際、各グラフの式がポイントになります。

〈例１〉 点が動く速さと時間(x)から、積ｙ(長方形、三角形等)を構成する縦・横、底辺・高さを明らかにし、面積ｙをxの式で表します。

すると、その過程で「グラフの意味」が理解できるようになる。

 【重要】x軸が「時間なのか？(例1)」｢各辺の長さなのか？(例2)｣を明確にすることで、

｢何を、どうしたらよいか｣が見えてきます。

その際、重なる図形の形が変わるときのx座標を確実に押さえることです。

〈例2〉点A及びB　なお、ｙはxが決まると(ｙはxの式)必然的に決まります。

・グラフは、２次関数、１次関数、x軸に平行な直線が結合されて表されるが、グラフの変わり目の座標(A及びB )と、それに対応する〈重なる面積の形が変わる〉関係を明確にする。

・直線(1次関数)の式を求めることも必要です！２つの方法があります。

〈例2〉　直線ABは、求める直線を　ｙ＝a x＋ｂとすると

ア．直線が2点A、Bを通るから、両点を代入して、連立方程式で求める。

イ．2点A、Bから傾き(a)を求めた後に、点AまたはBを代入して切片ｂを求める。

【グラフのよみ方】

○「面積ｙ」が三角形の場合

ア．グラフが２次関数〈❶〉

→「底辺」と「高さ」が共に変化する。

イ．グラフが１次関数〈❷〉

→「底辺」または「高さ」の一方が変化する。

ウ．グラフは、x軸に平行〈❸〉

→「底辺」と「高さ」が共に定数である。

○「面積ｙ」が長方形(平行四辺形含む)の場合

ア．グラフが２次関数〈❶〉

→「縦(高さ)」と「横(底辺)」が共に変化する。

イ．グラフが１次関数〈❷〉

→「縦(高さ)」または「横(底辺)」の一方が変化する。

ウ．グラフがx軸に平行な直線〈❸〉

→「縦と(高さ)」と「横(底辺)」が共に定数である。

・グラフが右上がり。〈❷〉

→　面積は増加する。

・グラフが右下がり。〈❹〉　

→　面積は減少する。

次に，具体的な問題を通して解説します。

【注意】画像(図形・グラフ等)は、ダブルクリックで拡大し、さらにワンクリックで拡大します。