中学校数学 証明のコツ

中学校数学「証明」に悩んでいる中学生,先生方,保護者の皆様,ご活用ください。誰も教えられない証明のコツを徹底解説します。そのコツとは,先ず「証明とは,何を,どうすることか」を完璧に理解することです。それには,仮定・結論,根拠がポイントです。そして,あらゆる証明問題に対応できる,本質的な力を,自分から進んで身に付けることです。そうしたコツが確実に身に付くよう,解説→徹底練習を,スパイラルに「自学自習」できる学習プリントを用意しました。証明が苦手な人がつまずきやすい事柄を自分一人でも分かるように工夫しました。このブログで学習することで,自信がもてるようになり,証明が好きになると思います。100ページ予定(適宜更新)

【相似】

「相似の証明」のコツを徹底解説! あらゆる入試問題に対応できる基礎力を自学自習で確実に身に付けることができる教材

今回から「相似の証明」を始めます。

先ず,相似とは何か?小学生に分かるように説明できますか!
これができた人は,数学の本質を理解している人です。
説明ができなかった人は,今後,相似の証明問題をたくさん解いて,一つ一つ,解答パターン(いわゆる証明のコツ?)を覚えていっても,相似の証明に強くなることはありません。特に,難しい問題には,その解答パターンが隠れていて,それが見つからなければ,正解は得られません。なんとなく相似の意味を理解している人は,これまで自分が身に付けた解答パターンを,その問題の中から見つけることができないので,正解を得ることはできません。解答パターンを覚える学習には,限界があるのです。

私は「解答パターン=証明のコツ」とは考えていません。それをコツと指導される方々も・・・・・!?

相似の証明の第一歩は,「相似とは,何かを理解する」ことです。
証明とは,仮定から,根拠を明らかにして結論を導くことです
相似とは何かを正確に理解してないと,例えば,根拠があいまいになります。すると,相似の証明は,何をどうしたらよいか分からない。証明は難しい,嫌い,諦めることになるのです。

それでは,相似の意味(「三角形の相似条件」含)を明確に理解することから,始めましょう。
例:三角形の相似条件「それぞれ」とは?,「すべて」とは?等。

【注意
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「三角形と線分の比」【柔軟な思考力】を身に付けることができる自学自習教材

今回は,三角形と線分の比について学習しますが,苦手な人がたいへん多いです。
その要因としては,例えば,「定理」をに覚えただけで,それを証明問題に利用しようとする傾向があるということが考えられます。
ここでの学習では,多少時間をかけます。一つ一つの根拠を十分理解しながら定理を学ぶことで,あらゆる入試問題に対応できる基礎的な力を確実に身に付けることができるようにしています。
三角形の相似条件」を用いて,平行線の性質と関係付けながら,「三角形の比を理解していきますが,そうした学習の中で,証明問題を解決するには「平行線がいかに重要であるか」を実感するとともにレベルの高い問題を解くための「補助線の引き方」などの大事な知識・技能を身に付けることができるよう内容を工夫しました。
単に,問題を解くテクニックを学習するだけでなく,柔軟に対応できる数学的な思考力を伸ばしていきます。

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「基礎編」から,「応用編(入試問題)」へ!

今回は,「平行線と線分の比」,「角の二等分線と線分の比」,「相似な三角形と円」について学習します。
平行線は,相似と深い関係があります。例えば,2つの三角形が相似であることを証明するには,相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」を示しますが,その際,平行線を利用することで,錯角同位角平行四辺形の性質等,証明するための「手立て」が豊富になります。さらに,補助線を引くことで,その「手立て」がより豊かになります。平行線補助線引くこと,これも「証明のコツ」の一つです。レベルアップにはぜひ身に付けたいことです。
このブログでは,「証明とは,何を,どうすることか!」を理解することから始め,「合同の証明」,「相似の証明」を取り上げてきましたが,今回で「基礎編」は終了します。私がこれまで大事にしてきたことはつあります。
第一 どんな人でも,証明(数学)の本質的な力養えるブログ
第二 学ぶひとが,自分一人だけで学習を進められるブログ
第三 今まで誰も教えてくれなかったこと,どの参考書にも載っていなかったことが
   つまり,「証明のコツ」が,誰にでも理解できるブログ
このブログが,誰かの役に立ったとしたら,たいへん幸せです。

基礎編」は終了しましたが,引き続き,「応用編」を始めます。

最終ページ・訂正: 配信予定  
「作図」「関数」  → 面積比」「入試問題:合同の証明」「入試問題:相似と円

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入試で差がつく「面積の比,体積の比」を得意にできる教材

これまでは,「普段の授業」を充実させ,どんな入試問題にも対応できる基礎・基本を養うための学習を進めてきました。
【既習内容】 <1月~現在>
 〇証明とは何か? 〇合同の証明 〇相似の証明 〇三角形と線分の比

数学が伸びない人へ,一言
自分の学校での授業を疎かにして塾や通信添削等熱中する生徒・保護者さんがいますが,そうした学習は,弊害が多いのです。例えば,どちらの学習も中途半端に終わり,成績が伸びない不安な気持ちだけが高まる。特に,勉強が苦手な人勉強したことがない人ほど,そうした傾向があります。普段の授業大事に,それから塾等で一層実力を高める。優先順位を間違えないようにしましょう。先ずは学校の授業です!

今回は,「面積の比」「体積の比」を学習しますが,入試で差が出る単元です。ポイントを以下に示します。
〇三角形の底辺に着目する。
〇相似の図形と相似でない図形を区別する。
先ずは相似比を求め,面積比,体積比を考える。その際,単位(㎡,㎥)をヒントに!
これまで通り,各ページを印刷し,ファイル化すれば,1冊の参考書となります。

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休校中,自分一人で,図形の証明(相似)を学習できるブログ!

休校中何をどう勉強したらよいか分からない中学生及び保護者の皆さん。ぜひ,利用してください。
相似の基礎的な問題を,自分一人だけで十分学習できるよう工夫しました。読むだけで理解できるように編成してありますが,例題等をプリントアウトし,納得するまで問題に取り組むことで,どんな入試問題にも対応できる数学的な力を身に付けることができます。すべて無料です安心を!!!

今回は,入試問題程度の面積比の問題を取り上げました。これまでの基礎・基本を踏まえ,特に,入試で必要な見方・考え方を養うことがねらいです。

【このブログの効果的な活用のポイント】
〇苦手な人は,先ず「証明とは,何をどうすることか?」を理解するために,1月6日の内容から始める。
※得意な人は,補充したい内容を選択してもよいでしょう。普段の授業だけでなく,予習や復習にも活用できます。
※ブログにある内容をよく理解してから,先に進みましょう。(実力に応じて!)
※他のブログ・参考書が説明を省略している内容(苦手な人が理解できない事柄)を細かく示しました。
〇例題等をプリントアウトし,スラスラできるようになるまで,何度も解き,すべてファイルに綴じる。
※上記の学習を繰り返すことで「証明する力」が自然に身に付くよう単元を構成しています。
〇学校の授業を大事にしながら,学習を進める。
※「なぜ,数学を学習するか?」それは,入試のため,親のため,日々の授業のため,充実した学校生活のため,そして「人間として豊かに生活する」ためです。すべて繋がっています

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