中学校数学　証明のコツ

【お知らせ】　「中学校数学　文章題解法のコツ」を開設しました。

今回は、２点がそれぞれ直方体や立方体の辺上を動いてできる「立体の体積」の問題です。

「立体の体積＝底面積×高さ」を踏まえ、２点の動きに対応した立体を捉え、それらの底面積と高さを明らかにすることで立体の体積を考えることが中心課題となります。

動点の変域と、それに対応した底面積と高さの関係を押さえることがポイントです。

続いて、問題を解く活動を通して、理解を深めます。

【注意】画像(図形・グラフ等)は、ダブルクリックで拡大し，さらにワンクリックで拡大します。

今回は、点や図形が移動する問題を取り上げます。

始めに、重なる図形が、「三角形→台形→三角形」のように変わる場合です。

三角形の相似条件を効率的に利用し、底辺、上底及び下底、高さを求めることがポイントになります。

次に、長方形の大きさが変わる問題です。「長方形の面積＝たて×よこ」を踏まえ、部分的に重なる、一方がすべて他方に含まれる等、場合分けしながら、落ちや重なりがなく、「たて」と「よこ」の長さを求めることがポイントになります。

点や図形が移動するときの「変域」と、それに「対応した面積」の関係を捉えることが共通の課題です。重なる図形が「変化するときの時間」を押さえることが重要です。

 
【注】問題は必ずプリントアウトしましょう！

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グラフが設定された動点の問題を攻略するには、何を、どうすればよいか！

グラフの意味をよみとるために、①②の順で考えます。

①　先ず、x軸とｙ軸がそれぞれ何を表しているか、明確にする。

・x軸は｢時間｣または｢辺の長さ｣、ｙ軸は｢重なる図形の面積｣等
②　次に、xの値を踏まえ、面積ｙを求める。その際、各グラフの式がポイントになります。

〈例１〉 点が動く速さと時間(x)から、積ｙ(長方形、三角形等)を構成する縦・横、底辺・高さを明らかにし、面積ｙをxの式で表します。

すると、その過程で「グラフの意味」が理解できるようになる。

 【重要】x軸が「時間なのか？(例1)」｢各辺の長さなのか？(例2)｣を明確にすることで、

｢何を、どうしたらよいか｣が見えてきます。

その際、重なる図形の形が変わるときのx座標を確実に押さえることです。

〈例2〉点A及びB　なお、ｙはxが決まると(ｙはxの式)必然的に決まります。

・グラフは、２次関数、１次関数、x軸に平行な直線が結合されて表されるが、グラフの変わり目の座標(A及びB )と、それに対応する〈重なる面積の形が変わる〉関係を明確にする。

・直線(1次関数)の式を求めることも必要です！２つの方法があります。

〈例2〉　直線ABは、求める直線を　ｙ＝a x＋ｂとすると

ア．直線が2点A、Bを通るから、両点を代入して、連立方程式で求める。

イ．2点A、Bから傾き(a)を求めた後に、点AまたはBを代入して切片ｂを求める。

【グラフのよみ方】

○「面積ｙ」が三角形の場合

ア．グラフが２次関数〈❶〉

→「底辺」と「高さ」が共に変化する。

イ．グラフが１次関数〈❷〉

→「底辺」または「高さ」の一方が変化する。

ウ．グラフは、x軸に平行〈❸〉

→「底辺」と「高さ」が共に定数である。

○「面積ｙ」が長方形(平行四辺形含む)の場合

ア．グラフが２次関数〈❶〉

→「縦(高さ)」と「横(底辺)」が共に変化する。

イ．グラフが１次関数〈❷〉

→「縦(高さ)」または「横(底辺)」の一方が変化する。

ウ．グラフがx軸に平行な直線〈❸〉

→「縦と(高さ)」と「横(底辺)」が共に定数である。

・グラフが右上がり。〈❷〉

→　面積は増加する。

・グラフが右下がり。〈❹〉　

→　面積は減少する。

次に，具体的な問題を通して解説します。

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「動点」の問題を攻略するには、何を、どうすればよいか！

次の順に解説します。

①基本的な考え方を理解する。　②例題からポイントを習得する。　③実践する。

多くの人が動点の問題を苦手としているようですが、その要因は何でしょうか？

例えば、「道のり・速さ・時間」の理解が不十分。「動点の移動によってできる図形」を正確に捉えられない。「基本的な図形の性質」を活用することができない。等が考えられます。

ほとんどの問題は、「動点の移動でできる図形の面積や体積を考えること」が中心課題ですが、動点の入試問題を得意にするには、空間における直線と直線、面と面、直線と面の位置関係(平行、距離、垂直、ねじれの位置など)の理解、そして、それらを活用する力が不可欠です。

そこで、私は、その課題解決の過程を以下のように考えました。

第一に、動点PやQの速さから、それぞれが移動した距離を求め、各辺の長さを具体化することで、「速さの問題」を「図形の問題」に置き換える。

それには、道のり、速さ、時間の関係を十分理解することが大事です。

第二に、動点の移動によって、「できる図形」を正確に捉える。

それには、図形の形が変わる動点の位置を押さえ、それぞれの図形に対応した移動範囲を場合分けする。

特に、動く点によって変化する図形(三角形、三角錐、四角錐等)の「底辺、底面、高さ」を正確に捉えることが大事です。

第三に、図形の面積や体積の「底辺と高さ、底面積と高さ」の関係を活用する。【重要】

・形の異なる三角形(平行四辺形等)では、底辺と高さが等しければ、それらの面積は等しい。また、形の異なる錐体(三角錐、四角錐等)では、底面積と高さが等しければ、それらの体積は等しい。

・動点の移動によって変化する図形の底辺、高さ、底面積に着目し、変わる値と変わらない値を見つける。〈例：底辺は一定。高さが変わる〉

次に、変わる値をx として、面積や体積をxを用いた式で表す。その際、xの変域を明確にする。

第四に、底辺、底面積、高さを求める際は、基本的な図形や相似の性質、三平方の定理等を活用する。高校入試では、「相似の性質」を活用する問題が頻出です。

第五に、グラフが示された問題では、縦軸、横軸がそれぞれ何を表しているかをハッキリさせる。例　縦軸：面積　横軸：時間　

特に、グラフの型が変わる際の座標を明確にすることが大事です。

【「動点の問題」攻略に必要な基礎的・基本的な知識・技能】

○「相似」：形が同じで、大きさが違う。(同じ場合もある〈合同〉)

・形が同じ(相似)ならば、当然、対応する角の大きさは等しい。

○「三角形の相似条件」

・3組の辺の比がすべて等しい。

・２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。

・２組の角がそれぞれ等しい。

○基本的な図形の性質

・錯角、同位角、対頂角

・正方形、長方形、立方体、直方体、三角錐　・正三角形、直角二等辺三角形

・三平方の定理(30°60°90°の直角三角形、45°45°90°の直角二等辺三角形等)

◎誰も教えてくれない「空間図形の性質」を活用するためのポイント

Ⅰ．立体を構成する平面に着目し、考察を加えることで、基本的な図形の性質を活用できるようになる。

・正方形、正三角形、二等辺三角形、直角三角形、直角二等辺三角形、長方形、正方形、ひし形、円、正三角錐、正四角錐等の性質。

・平行、垂直、ねじれの位置、錯角・同位角、等の性質。

これらの性質を吟味することが、「三角形の合同・相似条件の活用」につながる。　

◎問題解決へ向け、一つ一つのアイデアがつながり、空間図形の問題ができるようになる！

Ⅱ．線対称な図形の性質を立体の考察に利用できる力を身に付ける。

・軸の左右に合同な基本図形、合同な立体、さらに、相似な図形、相似な立体ができる。

・軸は、「折り目」、「切り口」を考えることが多い。

・例えば、赤線で切ると、合同な立体ができる。

・合同とは、対応する面、角、辺がすべて等しい。　

・相似とは、形が同じで大きさが違う図形。(同じ場合もある：合同)

・相似比「１：２」とは？

・対応する角の大きさは、等しい。

・対応する辺の長さは、それぞれ2倍になると考えると、簡単に分かる。

・「高さ」も２倍であることに、気付く力を身に付ける！

○比の式 A:B=C:D ⇔ AD=BCを利用すれば、複雑な数値の問題もできる。

Ⅲ．体積は、底面積×高さ　→「底面」と「高さ」が決まれば、体積が決まる。

・したがって、複雑な問題では、「底面積」と「高さ」に着目する！

・立方体、直方体：底面積×高さ

・三角錐、円錐：?×底面積×高さ

※複雑な立体：（三角錐）＋(三角錐）、（三角錐）＋(直方体)　等のアイデアも必要。

○次の「四角錐の体積は等しい」という見方を身に付ける。

・なぜなら、「底面積」と「高さ」がそれぞれ等しい。

・頂点をA面上で、どこに移動させても、「高さは一定。」

・「等積変形する」というアイデアを身に付ける。

・面積や体積の大きさを変えずに、求めやすい図形に変形する。

〈ポイント〉「底辺」「底面積」と「高さ」に着目する！

次に、辺と辺、面と面、辺と面の平行・垂直等の位置関係をつかむ。

・下の直方体で、高さ(赤線)は等しい。

・難しい立体の問題でも、互いに平行な直線、互いに平行な面、それらに垂線な直線や面に着目することで、「底面」と「高さ」を必ず見つけることができる。上図がその基本です。